Mathcad Professional 13.0Константин ТитовКонстантин Титов1807245a94-9071-4331-b793-016ceaa951c150e2f70a-a0ee-4b8b-8ff9-b662dc7daab800000000-0000-0000-0000-00000000000000000000-0000-0000-0000-000000000000{\rtf1\ansi\ansicpg1251\deff0\deflang1049{\fonttbl{\f0\fnil\fprq15\fcharset204{\*\fname Arial;}Arial CYR;}}
\viewkind4\uc1\pard\f0\fs18\{f\}\par
}
Упражнение 3. Обобщить и записать в векторно-матричной форме алгоритм
решения дифференциального уравнения 2-го порядка
методом припасовывания на примере решения уравнения Бесселя.
Дано:
Введем обозначения:
Порядок дифференциальногоуравнения : .
Старший порядок производной в разложении в рядТейлора:
Зададим дискрет по "x":
Начальные условия будем записывать в матрицу: {Yj,k}
Матрица коэффициентов ряда Тейлора:
3-я производная:
4-я производная:
Если Вы хотите сравнить полученное Вами решение с ответом, откройте в электронной версии пособия ниже представленную закрытую область.
Алгоритм:
Запись начальныхусловий в матрицу "LL".
Вычисление производных и их значений для заданных начальных условий с последующей их записью в матрицуLL коэффициентов ряда Тейлора.
Вычисление производных и их значений на всех участках припасовывания для вычисляемых начальныхусловий с последующей их записью в матрицуLL коэффициентов ряда Тейлора.
Начальные условия
следующего участка
МатрицаLL коэффициентов ряда Тейлора.
Аналитический вид решенияисходного дифференциального уравнения записан ниже. Здесь: j - порядок производной; k - участок припасовывания; t - независимая переменная.
Возможна анимация
графика "Фазовый портрет".(100 кадров)
Рис. 1
Возможна анимация
графика.
Рис. 2
Анимация графика Рис. 2 показывает, что есть две устойчивых точки (узла),которые практически не изменяют своего положения при изменении "h" !? Это точки Х=2 и Х=4. Возможно есть и др. точки.
Аналитическое выражение решения y(j,k,t) на участке припасовывания "k" можно записать в виде::
Графики участка припасовывания и всего процесса можно сопоставить на одном рисунке рис. 3. При t=xk и j=0y(j,k,t) определяет точки y(0,k,xk) , соответствующие абсциссам xk.
Рис. 3
Другие возможности задания графиков решения исходного дифференциального уравнения.
На рисунках соответственно представлены фазовый портрет и динамика системы.