Упражнение 2.1.2.Решить численно методом стрельбы дифференциальное
уравнение с граничными условиями: ,. Сравнить
его с точным решением, построить график, снять анимационный клип.
Зададим граничные условия:
Если Вы хотите сравнить полученное Вами решение с ответом, откройте в
электронной версии пособия ниже представленную закрытую область.
Точное решение этого уравнения есть:
Оно удовлетворяет граничным условиям:
Ниже приведем алгоритм решения этого уравнения по методу "стрельбы".
Дано:
Перейдем к дискретным переменным:
Стартовые условия алгоритма:
Здесь и далее введены обозначения: - дискретные значения частного решения неоднородного диф. уравнения; - дискретные значения общего решения однородного диф. уравнения.
Произвольно задаем: , ,
.
Приведём алгоритм решения задачи:
Запишем рекуррентные формулы вычисления частного и общего решений соответствующего неоднородного и однородного дифференциальных. уравнений, представленных в разностном виде: ,
Выразим из этих уравнений :
Возможна анимация
графика.(100 кадров).
Зависит только от "h".
Рис. 1
Изменим в этой задаче ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ на и соответственно внесем коррективы в исходные данные: ,где
Число точек отсчета:;дискрет по "х": , где, выберем параметр анимации ,знак (+, -): ,. Зададим дискретные начальные значения частного решения соответственно неоднородного и однородного исходногоуравнения: , .
Произвольно (как предлагается в [2], стр 549 !) задаем: , , . Далее в режиме анимации проанализируем это утверждение.
Дискретные значения независимой переменной: , , , .
Далее запишем в разностном виде исходное неоднородное и однородное дифференциальное уравнение и его приближенные решения вдискретных точках:
Возможна анимация
графика.(40 кадров).
Зависитот "h"
Рис. 2
Анимация графика рис.2подтверждает приведенное в [2] на стр. 549 высказывание о произвольности выбора и..