Пусть задана система
m
линейных уравнений с
n
неизвестными:
,
j
=1,
m
.
Будем рассматривать случай, когда
n
>
m
.
Здесь
А
={a
i,j
} - матрица коэффициентов СЛАУ, а
b
={
b
j
} - её вектор-столбец правой части. Чтобы СЛАУ была совместна, необходимо и доста-
точно выполнение равенства rang
A
=rang
Ar
,
где
Ar
= (
A
|
b
) - так называемая расширенная
матрица. Пусть мы нашли
rang
A
=rang
Ar =r
,
который не превосходит
m
. Значит существует
базисный минор размером
m
х
m
, определитель которого не равен нулю. Переменные и урав-
нения СЛАУ, входящие
в базисный минор будем называть базисными. Дальше мы будем
работать только с базисными уравнениями. Причем базисные переменные следует оставить
в левой части СЛАУ, а небазисные переменные перенести вправо. Перенумеруем заново
для удобства в порядке возрастания переменные, их коэффициенты и уравнения СЛАУ.
В итоге получим СЛАУ
,
j
= 1,
r ,
решение которой
предстоит найти
. Независимые переменные с номерами
x
r
+
k
, где
k
=
1,..,
n-r
обычно обозна- чают как
C
k
, считая их произвольными константами. Таким образом, такая СЛАУ имеет бесчисленное множество решений. Её вектор решений можно записать следующим образом:
X
T
({
C
k
})=(x
1
(
{
C
k
}
), ... , x
r
(
{
C
k
}
), C
1
,C
2
,...,C
n
-
r
).