Решение систем дифференциальных уравнений (СДУ) с кратными корнями (см.файл: ..ДляБонд...)
Комментарий к графике. Пусть задана функция:
Укажем на следующие возможности вычисления в Mathcad собственных чисел и
соответствующих им собственных векторов, необходимых для решения СДУ:
Привязка собственного вектора (обязательное условие) к собственному числу:
Пример 1.Пусть имеется матрица правых частей СДУ, записанной в нормальной
форме.
Для этой матрицы АА вычислим собственные числа и собственные векторы:
Привязка собственного вектора к собственному числу необходима, так как дальше она используется при решении СДУ (см. ниже Resh). Осуществить её можно так
Пусть имеется вектор констант Н:
Запишем собственные векторы в столбцы матрицы W:
n - число строк вектора столбца W.
Тогда вектор решения СДУ в отсутствие кратных корней (собственных чисел) можно
записать так
Пример 2.На двукратный корень k=4(см. Ефимов, т.2, стр.102, пример 12).
Укажем размерность матрицы А2 и вектор начальных условий Н2:
То есть x0(0)=h0, x1(0)=h1.
Вычислим параметры (собственные числа и векторы), используя Mathcad, для задан-
ной матрицы СДУ А2:
Построим решение для случая кратного корня с помощью оператора Bulstoer и срав-
ним его с решением, когда нет кратных корней.
1. Решение для случая, когда нет кратных корней (см. рис.1):
Эти графики не сходятся с графиками Bulstoer (рис.2), так как не верно их теоретическое построение.Правильное решение выполнено в книге (гл.3, §2, п.3). Посмотрим каково должно быть решение этой СДУ. Введем матрицы Т и В (под- робнее см. в книге гл.3, §2, п.3 или www.bmstu.ru/ps/~kvtitov) и запишем решение X2(t)
Рис.1а
2. Решение для случая, когда есть кратные корни:
Примечание. Вектор начальных условий автоматически "привязывается" к t0!
Графики Bulstoer и Rkadapt:
Графики, изображенные на рис.2, должны
совпадать с графиками рис.1а, то есть с
функцией Х2(t).
Графики Re(t) и Rk(t)имеют полное
совпадение друг с другом!
Попробуем решить эту СДУ ещё и с помощью Odesolve.Odesolve взять из Help.
Введем параметры:
Конечная точка интервала вычислений:
Полученное решение на рис.3той же СДУ с помощью Odesolve говорит о пра- вильности решения X2(t).